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August 27, 2005

「帽子の色」

わかったわかった!
5人の場合(白が2人、赤が3人)を考える。

○ ○ ○ ○ ○

「白が2人いる」

いちばん東の人が白い帽子をかぶっている人が何人かをみんなに聞こえるように言う。この人は自分の帽子の色を勘で答える。
2番目の人は、前に2人白がいたら、当然自分は赤。前に1人しか白がいなかったら、自分は白。
3番目の人は、2番目の人が何と答えたかで計算すれば良い。(たとえば2番目が赤と答えて、前に白が1人しかいなかったら、自分は白、みたいに)
よって最初の人だけが、1/2の確率で当て、他は必ず当てれる。
一般化すると期待値はn-1/2になる。

白の数を具体的に教えずに偶奇を教えるだけでもできるみたい。
だから、
「いちばん東の人間が「白」と答えたら、「白は偶数」という意味。「赤」と答えたら、「白は奇数」という意味」
という打ち合わせをあらかじめしておけば良い。
これだったら余計な発言はせずにすむ。

n人のうち三猿だった場合は……。
自分が猿かどうかは、自分でよく分かっているはず。だから並び方に関わらず、期待値はn。
間違えた。もちろん猿も帽子をかぶって赤か白か当てるのだろう。猿を途中に入れたら、上のような計算ができないから、めちゃめちゃになる。だから、猿を東か西に並ばせるといいと思う。

猿 ○ ○ …… ○ 猿 猿

のように。
東に猿がいた場合は、いちばん東の人間が白の偶奇を教えればいい。

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